Matriu transposada conjugada i operadors hermítics
Matrius com a exponents aplicades a MQ i Física Estadística
Una matriu diagonal és aquella que només té elements a la diagonal
$$ D=\begin{pmatrix} d_1&0&0\\ 0&d_2&0\\ 0&0&d_3 \end{pmatrix} $$
Visualment significa agafar l’espai vectorial $\R^3$ expressat en un SR i escalar-ne els eixos per diferents factors.
És aquella en la qual és possible un canvi de base que resulti en una matriu diagonal.
$$ A=PDP^{-1} $$
Matriu simètrica (en el cas real) i hermítica (en el cas complex) és aquella que compleix
$$ A=A^T\qquad A=A^\dagger $$
Ens diu que si tenim una matriu simètrica o hermítica, aquesta és diagonalitzable i que els valors propis són reals.
$$ A=A^\dagger\implies D=P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2 &\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix} ,\lambda_k\in\R~\forall k $$