<aside> 🛠

Aquesta pàgina està bastant bé, però potser li falta alguna revisió.

</aside>

• Recursos externs útils

Tipus de matrius

• Simètrica $A=A^T$ | Hermítica $A=A^\dagger$
• Ortogonal $A^T=A^{-1}$ | Unitaria $A^\dagger=A^{-1}$

Bases i matrius de canvi de base

Base ortogonal vs. canvi de base ortogonal

Diagonalització

Matriu ortogonalment diagonalitzable

Producte escalar entre vectors i canvi de base

Resum: Propietats matriu unitària

Una matriu unitària és aquella que compleix $P^\dagger=P^{-1}$, cosa que implica com a condició equivalent, la següent

$$ PP^\dagger=P^\dagger P=\mathbb{I} $$

Nota: en el cas que una matriu unitària només estigui formada per nombres reals li direm matriu ortogonal.

Propietats matriu unitària

• Determinant unitari $|P|^2=1\to \det (P)=e^{i\theta}$
  • Que en el cas real (matriu ortogonal) queda simplificat a $\det(P)=\pm1$
• Serveix com a canvi de base xulo, que preserva simetria
  • Si $A=A^\dagger$ és la matriu associada a una transformació lineal, al canviar ortogonalment de base la matriu associada $B=B^\dagger$ seguirà sent hermítica.
• És un canvi de base tan xulo, que ens permet agafar qualsevol matriu hermítica i diagonalitzar-la sense haver de calcular matrius inverses. I al mateix temps ens assegura que si a partir d’una matriu qualsevol podem canviar (ortogonalment) a una matriu diagonal, la matriu original era hermítica.
  • Si $A=A^\dagger\iff A=PDP^\dagger, D=P^\dagger AP$
• Sempre la podrem escriure a partir d’una matriu hermítica
  • Si $A$ és hermítica —> $P=e^{iA}$ és unitaria.
    • Qualsevol matriu unitària es pot expressar així
  • Si $A$ és antisimètrica —> $P=e^A$ és ortogonal

Conservació de propietats al canviar de base