Matriu transposada conjugada

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \qquad A^T=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix} \qquad A^\dagger=\begin{pmatrix} a_{11}^&a_{21}^\\ a_{12}^&a_{22}^ \end{pmatrix} $$

Nota: realment $A^\dagger=(A^T)^=(A^)^T$ únicament si $A$ està expressada en una base ortonormal, però sempre solem treballar amb bases ortonormals així que ho podem considerar una igualtat.

Operador hermític adjunt

Si $\hat{A}$ és un operador que es pot representar amb una matriu, $\hat{A}^\dagger$ és el seu operador hermític adjunt que equival a conjugar i transposar la matriu.

Propietats principals

1. $(\hat{A}^\dagger)^\dagger=\hat{A}$
2. $(\hat{A}+\hat{B})^\dagger=\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger$
3. $(\hat{A}\hat{B})^\dagger=\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger$

Altres propietats

• $c^\dagger=c^*$ amb $c\in \mathbb{C}$
• si $v \in V$ és un vector en un espai vectorial dotat d’un producte intern i $\omega\in V^*$ és el seu covector associat aleshores —> $v^\dagger=\omega$ i $\omega^\dagger=v$. En mecànica quàntica això implica que $\ket{\psi}^\dagger=\bra{\psi}$ i $\bra{\psi}^\dagger=\ket{\psi}$.

Operadors hermítics

Si $\hat{A}^\dagger=\hat{A}$ diem que l’operador és hermític.

Teorema Espectral

• Si una matriu és hermítica és diagonalitzable
• En una eigenvalue-equation $\hat{A}v=\lambda v$ en què l’operador és hermític els valors propis sempre seran reals ($\lambda\in\R$). I els vectors propis $v$ seran ortogonals entre ells.

Per més informació: Diagonalització, teoremes espectrals i descomposició espectral.

Operador autoadjunt

Pel cas finit sempre es compleix $\text{domini}(A^\dagger)=\text{domini}(A)$. Ara bé, pel cas infinit no sempre es compleix (a vegades sí i a vegades no). Per distingir direm