<aside> 🛠 Aquesta pàgina està en procés

</aside>

Un exemple ràpid

$$ e^{\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}t}=\begin{pmatrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{pmatrix} $$

de manera que per $t=\pi$ deduïm que…

$$ e^{\begin{pmatrix} 0&-\pi\\ \pi&0 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} $$

Significat de tenir una matriu com a exponent

És defineix a partir de la sèrie de Taylor de la funció $e^x$.

Vídeo complet aquí.

• I si volem fer $2^\text{()}$ enlloc de $e^{()}$ o qualsevol altre nombre?

És una expansió infinita, així que no farem cap càlcul matricial. La manera de procedir serà utilitzar (si podem) alguna propietat especial de la matriu per tal de passar d’una sèrie infinita a una altra.

Sèrie de Taylor

Exponencial real

$$ e^{\hat{A}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\hat{A})^n}{n!} $$

Exponencial imaginaria

$$ e^{i\hat{A}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\hat{A})^n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty i^{2n}\frac{\hat{A}^{2n}}{(2n)!} +\sum_{n=0}^\infty i^{2n+1}\frac{\hat{A}^{2n+1}}{(2n+1)!} =\\= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\hat{A}^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{\hat{A}^{2n+1}}{(2n+1)!}

\\= \cos\hat{A}+i\sin\hat{A} $$

Si $\hat{A}$ compleix alguna propietat recurrent al elevar-la a una potència potser podrem treure-la fora del sinus i el cosinus.

Cas típic: matriu involutiva

Quan tenim una matriu involutiva $\hat{A}=\hat{A}^{-1}$ tindrem doncs que

$$ \text{si }\hat{A}^2=\mathbb{I}\implies\begin{cases} \hat{A}^{2n}=\mathbb{I}\\ \hat{A}^{2n+1}=\hat{A}\end{cases} $$