<aside> 🚧
Aquesta pàgina encara està a mig redactar
</aside>
Igual que en teoria de pertorbacions independent del temps, volem resoldre el nostre sistema $H\ket{\psi_n}=E_n\ket{\psi_n}$, però aquesta vegada no se’ns acudeix cap $H_0$ conegut. Així doncs com no tenim cap pista, conceptualment anirem provant diferents funcions d’ona $\psi$ a assaig i error i anirem mirant quina representa millor el nostre sistema.
De totes les funcions d’ona que provem, sabrem que la que millor representa físicament el nostre sistema, serà aquella que tingui un energia de l’estat fonamental $E_0$ corresponent més baixa.
Dit d’altra manera, buscarem una $\psi(\vec{r})$ tal que minimitzi $E_0$.
A la pràctica escriurem una funció d’ona típica (per exemple una gaussiana) en funció d’un paràmetre $a$, i després calcularem l’energia $E_0(a)$ corresponent a $\psi(\vec{r},a)$ i optimitzarem respecte aquest paràmetre (${E_0}^\prime(a)=0$), trobant $a_\text{mín}$, i per tant la $\psi(\vec{r},a_\text{mín})$ que millor representa el nostre sistema.
El motiu pel qual sempre podem assegurar que l’energia de l’estat fonamental aproximada sempre serà major que l’energia real del sistema $E_0(a_\text{mín})\ge {E_0}$, el veurem més endavant.
$$ E=\gray{\frac{1}{\braket{\psi|\psi}}}\braket{\psi|H|\psi}=\langle T\rangle+\langle V\rangle $$
Obtenir la funció d’ona $\psi(\vec{r},a_i)$ normalitzada en funció d’uns paràmetres
Això ho fem posant una $N$ a la funció de l’enunciat i calculant la integral $\braket{\psi|\psi}$.
Calcular la integral següent
$$ \braket{\psi(\vec{r},a_i)|H|\psi(\vec{r},a_i)}=\iiint_{-\infty}^\infty \psi^*(\vec{r},a_i)H\psi(\vec{r},a_i) $$
Casi sempre s’ha de separar en dues integrals, una serà $\langle T\rangle$ (que no depèn de $\psi$) i l’altra serà $\langle V\rangle$ que haurem de calcular sí o sí.
Derivar respecte els diferents paràmetres $\frac{\partial E(a_i)}{\partial a_i}=0$ per trobar $E_\text{mín}$.
<aside> 🦉 TIP: en els exàmens del T. Fiol es poden dur apuntades les següents dreceres per estalviar temps.
</aside>
Expressarem 3 coses útils: la funció d’ona proposada, la constant de normalització i el terme de l’energia cinètica resultant (que es posa en la integral).
Decaïment quadràtic
$$ \psi(x)=\frac{N}{x^2+a^2} \quad\rightarrow\quad N=\sqrt{\frac{2a^3}{\pi}} \quad\rightarrow\quad \langle T\rangle=\frac{\hbar^2}{4ma^2} $$
Gaussiana