Relacionat

Integrals de 3 harmònics esfèrics

Utilitat

• Clebsch-Gordan — Passar de la base producte a la base acoblada i viceversa
• $c^L$ — Per valors esperats en transicions atòmiques (compleixen regles de selecció)
• Gaunt — Per resoldre integrals generals del tipus $\int YYYd\Omega$
• Wigner — Equivalents als CG però sobretot útils quan hi ha invariància rotacional (simetria esfèrica)
• Funcions $d$ —

Gaunt definició

$$ G(l_1, l_2, l_3; m_1, m_2, m_3)=\int Y_{l_1 m_1} Y_{l_2 m_2} Y_{l_3 m_3} \, d\Omega $$

$c^L$ definició

$$ c^L(l_1, m_1; l_2, m_2) = \sqrt{\frac{4\pi}{2L+1}} \int Y_{l_1 m_1}^*(\hat{r}) Y_{L (m_1 - m_2)}(\hat{r}) Y_{l_2 m_2}(\hat{r}) \, d\Omega $$

• Propietat útil
• Una altra propietat útil
• Relació amb els harmònics esfèrics re-escalats
• Valors particulars

Wigner propietat

$$ \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} = (-1)^{l_1 + l_2 + l_3} \begin{pmatrix}l_2 & l_1 & l_3\\m_2 & m_1 & m_3\end{pmatrix}. $$

Gaunt - CB

$$ G = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi (2l_3+1)}} \langle l_1 \, 0 \, l_2 \, 0 | l_3 \, 0 \rangle \langle l_1 \, m_1 \, l_2 \, m_2 | l_3 \, m_3 \rangle $$