Recordatori sobre els harmònics esfèrics
De…
Propietats essencials dels harmònics esfèrics
- Són ortogonals
- Tenen la mateixa paritat que $\ell$
- La suma sobre $m$ dona un polinomi de Legendre
- Compleixen el teorema de Unsöld
- Són propis de $L^2$ i $L_z$
- El primer de tots és una constant
- Els dos següents també està bé saber-los de memòria
- Integrals triples com a coeficients de Gaunt
- El producte de dos harmònics esfèrics com a suma d’harmònics esfèrics
- Integrals típiques en transicions atòmiques
- Cal complir les regles de selecció
Trucos ràpids
La integral es fa zero si la paritat $\mathcal{P}(l_1)\cdot \mathcal{P}(l_2)\cdot \mathcal{P}(l_3)$ és senar. Per exemple:
$$
\int Y_{00} Y_{l0} Y_{00} \, d\Omega = 0 \qquad \text{(si }l \text{ senar)}
$$
$$
\int Y_{10} Y_{l0} Y_{10} \, d\Omega = 0 \qquad \text{(si }l \text{ senar)}
$$
Si no es compleixen les regles de selecció la integral es fa zero