<aside> 📌
Els valors de les constants estan en notació decimal anglesa (punt enlloc de coma).
</aside>
Es defineix imposant:
$$ m_e=e=\hbar=k_e=1 $$
Aleshores, tenim:
$$ 1 \, m_e=9.109\cdot10^{−31} \,\text{kg} \iff 1\,\text{kg}=1.098\cdot 10^{30}\, m_e $$
$$ 1\,e=1.602\cdot10^{19}\, \text{C}\iff 1\, \text{A}/\text{s}=6.242\cdot 10^{-20} \,e $$
$$ \hbar=1.054\cdot10^{−34} \,\text{J}\cdot\text{s}\implies 1\,\text{kg}\cdot \text{m}^2/\text{s}= $$
$$ k_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}= 8.9875 \cdot 10^9\, \text{N}\cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \iff
1\, \text{kg}\cdot \text{m}^3/\text{A}^2= $$
Cosa que ens permet convertir del SI ($\text{kg}$, $\text{m}$, $\text{s}$, $\text{A}$) al sistema d’unitats format per imposar a la unitat aquestes constants universals ($m_e$, $e$, $\hbar$, $k_e$).
Aquest sistema és perfectament vàlid, i podríem expressar tots els nostres resultats en ell, el que passa però és que la constant de Planck té per magnitud d’acció (energia per temps) i la constant de Coulomb té una magnitud curiosa (massa per longitud al cub per càrrega elèctrica al quadrat entre temps al quadrat). A nosaltres ens interessa poder-ho expressar tot en les magnituds amb les que estem acostumats, és a dir: massa, longitud, temps i càrrega elèctrica. O bé, amb massa, longitud, energia i càrrega elèctrica.
Si ara triem adientment unes constants d’energia i de longitud tals que també valguin $1$ en aquest sistema, les podrem utilitzar i res canviarà (és el mateix sistema d’unitats).
Així doncs fem:
$$ \begin{aligned} E_h =\frac{e^4m_ek_e^2}{ \hbar^2} \qquad &\qquad a_0 = \frac{\hbar^2}{k_em_e e^2} \\[2em] e=e \qquad & \qquad m_e=m_e \end{aligned} $$
I ja que en el sistema d’unitats atòmiques, aquestes quatre són simplement $1$, tenim que en aquest sistema $E_h$ és la unitat d’energia, $a_0$ la unitat de longitud, $e$ la unitat de càrrega elèctrica i $m_e$ la unitat de massa.
Si ara volem saber per exemple quina és la unitat de temps, simplement fem:
$$ [E] = M\,L^{2}\,T^{-2}\implies [T]=L(M/E)^{1/2}\implies t_h = a_0\sqrt{\frac{m_e}{E_h}} $$
$$ \alpha = \frac{\mu_0 e^2 c}{2h} =\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} $$