Introducció

L’àtom d’hidrogen i àtoms similars (hidrogenoides i aproximadament hidrogenoides) es poden representar com un potencial central $V(r)$ que gràcies a la simetria esfèrica permet resoldre analíticament l’equació de Schrödinger.

A més, per potencials centrals el hamiltonià sempre es conserva ($\mathcal{H}$ independent del temps).

A continuació es presenten totes les fórmules i expression típiques que hi intervenen. Cal tenir en compte que tot està donat pel cas general (aproximadament hidrogenoide), és a dir amb $Z$ i $a_\mu$.

• Pel cas hidrogenoide $a_\mu$ és simplement $a_0$ (que és el radi de Bohr), i $\mu$ (massa reduïda) és $m_e$ (massa de l’electró).
• A més, per l’àtom d’hidrogen, directament $Z=1$.

També en les fórmules generals apareix $\chi_{m_s}(\sigma)$ que és la part de la funció d’ona corresponent a l’estat de l’spin (up o down). En realitat al fer els càlculs no cal tenir-lo en compte ja que en un bracket sempre donarà $1$ o $0$, però formalment s’ha d’incloure.

Entendre’l en més profunditat escapa una mica de l’objectiu d’aquest resum, si voleu podeu aprendre més sobre el tema aquí: Spinors.

Notacions diverses

Cal a dir que en diferents assignatures s’utilitzen notacions diverses. A continuació alguns exemples:

FQ

• $H$

• $\Psi(\vec{r})$

• $n$, $l$, $m$

  • $\ket{nlm}$

• $(r,\theta,\varphi)$

• $\phi_m(\varphi)=e^{im\varphi}$

• $1/a_0$

• $\psi(\vec{r})$

MQ

• $\hat{H}$
• $\ket{\Psi}$
  • $\Psi(\vec{r})=\braket{\vec{r}|\Psi}$
• $n$, $l$, $m$, $m_s$
  • $\ket{nlm}$
  • $\ket{lm\,sm_s}$
• $(r,\theta,\phi)$
• $\Phi(\phi)=e^{im\phi}/\sqrt{2\pi}$
• $Z/a_0$
• $\psi(\vec{r},\sigma)$

Atòmica

• $\mathcal{H}$

• $n$, $l$, $m_l$, $m_s$

  • $\ket{nlm_l\sigma}$
  • $\ket{lm_l\,sm_s}$

• $Z/a_\mu$

Descomposició de $\Psi$

Tot el que ve a continuació és pel cas més general possible però sempre amb $\mathcal{H}$ independent del temps.

A nivell general

Funció d’ona del sistema

$$ \Psi(\vec{r},t)=\Psi(\vec{r},0)e^{-i\mathcal{H}t/\hbar} $$

Estat inicial com a superposició d’estats estacionaris