Divergència, flux, rotacional i circulació visualment a Exemples de camps vectorials.

• Alguns apunts més oficials i extensos sobre el tema

Idea principal

$$ \boxed{\text{Propietat Local}\xrightarrow[\textit{Complint unes condicions}]{\text{INTEGREM SOBRE UNA REGIÓ}}\text{Propietat Global}} $$

• Exemple: Teorema fonamental del càlcul
• Exemple: Teorema de Green
• Exemple: Teorema de Gauss
• Exemple: Teorema generalitzat de Stokes

Teorema Fonamental del Càlcul - Divergència 1D

$$ \boxed{\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)} $$

Teorema de Green (en forma de circulació) - Rotacional 2D

$$ \oint_C\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_R\big|\vec{\nabla}\times\vec{F}\big| dA $$

En la seva expressió habitual, amb $\vec{F}(x,y)= \begin{bmatrix} P(x,y)\\[0.2em] Q(x,y) \end{bmatrix}$i $d\vec{l}= \begin{bmatrix} dx\\[0.2em] dy \end{bmatrix}$

$$ \boxed{\oint_{\partial R} P dx+Q dy=\iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA} $$

• Gràfic camp vectorial

Teorema de Green en forma de flux - Divergència 2D

$$ \oint_C\vec{F}\cdot \hat{n}ds=\int_R(\vec{\nabla}\cdot\vec{F}) dA $$

En la seva expressió habitual, amb $\vec{F}(x,y)= \begin{bmatrix} P(x,y)\\[0.2em] Q(x,y) \end{bmatrix}$i $\hat{n}=\frac{1}{ds}\begin{bmatrix} dy\\[0.2em] -dx \end{bmatrix}$

$$ \boxed{\oint_{\partial R} P dy -Q dx= \iint_R\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) dA} $$