Nota d’aclariment: els tensors de rang 2 dels que parlem en aquesta pàgina són tots amb nombres reals. Pels spinors (tensors de “rang 1.5” utilitzats en mecànica quàntica) aquesta interpretació d’anisotropia lineal no és vàlida.
Anem a prendre l’exemple del tensor d’inèrcia, que potser és el primer tensor que vam conèixer (a fonaments de mecànica). Aquest és simètric per definició.
Al ser simètric serà diagonalitzable, i per tant hi haurà un sistema de referència en què es podrà escriure en forma diagonal.
$$ \mathbf{I}= \begin{pmatrix} I_{xx}&0&0\\ 0&I_{yy}&0\\ 0&0&I_{zz} \end{pmatrix} $$
Molt bé, aquesta seria una anisotropia lineal amb direccions principals. Si ens fixem en cada direcció principal hi ha un moment d’inèrcia diferent.
Ara ens podríem preguntar, existeix algun moment d’inèrcia en la direcció $\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$? És a dir a 45 graus de l’eix X i a 45 graus de l’eix Y. I la resposta és que sí!
I el podem calcular perquè és una anisotropia lineal.
$$ \begin{pmatrix} I_{xx}&0&0\\ 0&I_{yy}&0\\ 0&0&I_{zz} \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} I_{xx}\\I_{yy}\\0 \end{pmatrix} \implies I_{\hat{n}}= \frac{1}{2} \left({I_{xx}}^2+{I_{yy}}^2\right) $$
La realitat és que existeix un moment d’inèrcia en totes les direccions, això ho podem representar visualment de la manera següent (ho veurem més endavant).
On la magnitud de cada fletxa indica el moment d’inèrcia en aquella direcció.
Podem tenir tensor no simètrics, i per tant no-diagonalitzables, i per tant sense direccions principals. Aquests seran de la forma.
$$ \mathbf{T}=\begin{pmatrix} T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\ T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\ T_{zx}&T_{zy}&T_{zz} \end{pmatrix} $$
On, en general $T_{yx}\neq T_{xy}$, però seguirem tenint una anisotropia lineal (ara sense direccions principals).
Un exemple en seria el gradient de la velocitat en mecànica de fluids (física dels medis continus).