El tensor mètric és una generalització del producte escalar
$$ g(\vec{u},\vec{v})=\vec{u}^\dagger\underline{\underline{g}}\vec{v}= \begin{pmatrix} u_1& u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g_{11}&g_{12}\\ g_{21}&g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} =\sum_{i,j}u_ig_{ij}v_j \equiv g_{ij}u^iv^j $$
<aside> 📌 El tensor mètric a relativitat especial no cal entendre el seu significat geomètric, només saber utilitzar-lo. Ara bé, quan la mètrica canvia a cada punt de l’espai, hem d’entendre com es calcula.
</aside>
https://www.youtube.com/watch?v=2V__naEkXVY
“A metric tensor takes two tangent vectors and returns a number, their inner product. Under a coordinate transformation or a map between manifolds, tangent vectors u are transformed (pushed-forward) by the differential of the map represented by the Jacobian matrix: u↦Ju, and the Euclidean inner product $u^\dagger v\mapsto(\underline{\underline{J}}u)^\dagger(\underline{\underline{J}}u)=u^\dagger \underline{\underline{J}}^\dagger \underline{\underline{J}}v=u^\dagger \underline{\underline{g}}v$, és a dir que el tensor mètric és $\underline{\underline{g}}=\underline{\underline{J}}^\dagger \underline{\underline{J}}$.