En una primera iteració aproximem $f(x)$ com un polinomi de grau 2 (interpolació quadràtica) que passa pels punts $a$, $b$ i $c=(b-a)/2$. En més iteracions dividiríem cada interval en subintervals.
Al final per un subinterval tindríem els punts $x_0$, $x_1=x_0+h$ i $x_2=x_0+2h$. Anem a calcular el polinomi que passa per aquests 3 punts.
Primer definim un canvi de variable que ens serà útil
$$ s=\dfrac{x-x_0}{h} $$
I ara
$$ \ell_0(s)=\frac{(s-1)(s-2)}{(0-1)(0-2)}=\frac{(s-1)(s-2)}{2}\\[1em] \ell_1(s)=\frac{(s-0)(s-2)}{(1-0)(1-2)}=-s(s-2) \\[1em] \ell_2(s)=\frac{(s-0)(s-1)}{(2-0)(2-1)}=\frac{s(s-1)}{2}. $$
Construïm el polinomi
$$ P_2(x)=f_0\,\ell_0(s)+f_1\,\ell_1(s)+f_2\,\ell_2(s) $$
Integrant la funció tindrem
$$ \int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx\;\approx\;\int_{x_0}^{x_2} P_2(x)\,dx = h\int_{0}^{2}\!\big(f_0\,\ell_0(s)+f_1\,\ell_1(s)+f_2\,\ell_2(s)\big)\,ds $$
Solucionem les integrals
$$ \displaystyle \int_0^2 \ell_1(s)\,ds=\int_0^2 (-s^2+2s)\,ds=\frac{4}{3} \\[1em] \displaystyle \int_0^2 \ell_1(s)\,ds=\int_0^2 (-s^2+2s)\,ds=\frac{4}{3} \\[1em] \displaystyle \int_0^2 \ell_2(s)\,ds=\int_0^2 \frac{s^2-s}{2}\,ds=\frac{1}{3} $$
És a dir que
$$ \int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx\;\approx\; h\!\left(\tfrac{1}{3}f_0+\tfrac{4}{3}f_1+\tfrac{1}{3}f_2\right) =\frac{h}{3}\,\big(f_0+4f_1+f_2\big) $$
$$ E_r \simeq -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi) \quad \text{amb } \xi \in [x_0, x_2] $$