Recursos a tenir en compte

Previ: Tipus de matrius

• Simètrica $A=A^T$ | Hermítica $A=A^\dagger$
• Ortogonal $A^T=A^{-1}$ | Unitaria $A^\dagger=A^{-1}$
• Involutiva $A=A^{-1}$

Previ: Definició de grup

Si tenim un conjunt qualsevol $X$. Diem que el conjunt té “estructura” (algebraica) de grup si per tots els elements ($x$, $y$, $z$) del conjunt compleix (amb una operació binària que denotarem per ‘$+$’), les següents propietats.

1. Ha de ser tancat —> $x+y\in X$
2. Ha de complir la propietat associativa —> $x+(y+z)=(x+y)+z$
3. Ha de tenir un element neutre (o zero) —> $\exists x:y+x=x+y=y$
4. Ha de tenir un element invers (o simètric) —> $\exists (-x):x+(-x)=(-x)+x=0$

Nota: el conjunt de matrius quadrades (per exemple ortogonals o unitàries) de dimensió $n$ formen un grup amb l’operació suma, però no és aquest el grup al que ens referim.

Les transformacions lineals associades a matrius ortogonals o unitàries (que sempre tenen inversa) són transformacions que compleixen la definició de grup amb l’operació composició.

Nota: aleshores direm que per exemple “el grup $O(3)$ està format pel conjunt de matrius ortogonals”, i és cert, però el que té l’estructura de grup que ens interessa és el conjunt de transformacions lineals associades a aquestes matrius ortogonals.

Grup O(3)

Conjunt de matrius ortogonals, és a dir satisfan

$$ Q^T=Q^{-1}\implies QQ^T=I $$

Aquestes matrius sempre són quadrades. Si tenen $n$ files o columnes diem que formen part del grup $O(n)$.

• Definició formal $O(n)$
• Relacionat: Grup $U(n)$