$$ \vec{v}= \begin{pmatrix} 0\\[5pt] v_\theta(r,z)\\[5pt] 0 \end{pmatrix} $$
Aleshores
$$ \vec{\nabla}\vec{v}= \begin{pmatrix} 0&\frac{\partial v_\theta}{\partial r}&0\\[5pt] -\frac{v_\theta}{r}&0&0\\[5pt] 0&0&0 \end{pmatrix} \qquad \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}= \begin{pmatrix} -\frac{v_\theta^2}{r}\\[5pt] 0\\[5pt] 0 \end{pmatrix} $$
$$ \nabla^2\vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\[5pt] \frac{\partial^2v_\theta}{\partial r^2}+\frac{1}{r} \frac{\partial v_\theta}{\partial r}-\frac{v_\theta}{r^2}+\frac{\partial^2 v_\theta}{\partial z^2} \\[5pt] 0 \end{pmatrix} $$
Podem comprovar també si volem que és incompressible
$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 $$
L’equació de Navier-Stokes en el cas més general és
$$ \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\rho \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \vec{v}=-\vec{\nabla} p+\eta \nabla^2 \vec{v}+\vec{f} $$
L’enunciat ens dona una viscositat cinemàtica. Sabem de teoria que
$$ \nu=\frac{\eta}{\rho} $$
A part, l’enunciat no ens ho diu, però suposarem que no hi ha forces volúmiques (negligim la gravetat). I ens ho demanen en condicions estacionàries, així que tot plegat queda
$$ \rho \cancel{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}+\rho \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \vec{v}=-\vec{\nabla} p+\rho\nu \nabla^2 \vec{v}+\cancel{\vec{f}} $$
Vale, el següent pas és segurament el més important de tots. Ja que es tracta d’un fluid que està rotant en la direcció angular, serà molt difícil causar-li un gradient de pressió en aquesta component (de seguida es compensarà). Aleshores, la idea clau està en assumir (en un cas així sempre és una bona assumpció) que
$$ \text{Assumim que }\quad\frac{\partial p}{\partial\theta}=0 $$