Estem en dues dimensions (tot passa en el pla $z=0$) així que l’oscil·lador harmònic és bidimensional.
Nota: sempre estudiem el cas isotropic, és a dir que si $\mathcal{H}=\frac{|\vec{p}|^2}{2m}+V(\vec{r})$, el potencial és igual en totes les direccions $V=\frac{1}{2}m\omega r^2=\frac{1}{2}m\omega(x^2+y^2)$, sinó seria massa complicat.
<aside> 📌 L’oscil·lador harmònic bidimensional (isotròpic) és una mica diferent de l’unidimensional.
Presenta degeneració (el nivell d’energia $n$ té degeneració $n+1$)
El hamiltonià és la suma corresponent a dos OHS independents
$$ \mathcal{H}=\mathcal{H}_x+\mathcal{H}_y $$
I per tant
Amb $N=N_x+N_y$ i $n=n_x+n_y$.
L’estat quàntic es correspon al producte tensorial de dos OHS independents
Prenent $\ket{\Psi}\equiv\ket{n}$, $\ket{\psi(x)}\equiv\ket{n_x}$ i $\ket{\psi(y)}\equiv \ket{n_y}$
$$ \ket{n}=\ket{n_x}\otimes\ket{n_y}\equiv\ket{n_x,n_y} $$
La funció d’ona es correspon al producte de les dues funcions d’ona independents
$$ \Psi(x,y)=\psi(x)\psi(y) $$
</aside>
El hamiltonià del sistema és doncs
$$ \mathcal{H}=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega(x^2+y^2) $$
Passant a variables adimensionals
$$ \textcolor{gray}{b\equiv\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}} $$
$$ \breve{x}=\frac{x}{b} \qquad \quad \breve{y}=\frac{y}{b} \qquad \quad \breve{p}_x=\frac{b}{\hbar}p_x \qquad \quad \breve{p}_y=\frac{b}{\hbar}p_y $$
Nota: en general fem servir com a notació una tilde per referir-nos a variables adimensionals ($\tilde{x}$) però en aquest exercici han decidit fer servir el símbol breve ($\breve{x}$), en tot cas és el mateix.
I a partir de les definicions dels operadors creació i destrucció (recordem-les)
$$ a_x\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\breve{x}+i\breve{p}_x\big) \qquad\quad a_x^\dagger\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\breve{x}-i\breve{p}_x\big) \\[1em] a_y\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\breve{y}+i\breve{p}_y\big) \qquad\quad a_y^\dagger\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\breve{y}-i\breve{p}_y\big) $$
Podem comprovar que es compleix $[a_x,a_x^\dagger]=[a_y,a_y^\dagger]=1$ i que per la resta de commutadors dona zero (ens serà útil més endavant).
S’arriba a l’expressió
$$ \mathcal{H}=(a^\dagger_xa_x+a_y^\dagger a_y+1)\hbar\omega=(N_x+N_y+1)\hbar\omega =(N+1)\hbar\omega $$
On es compleix que
$$ E_n=(n+1) \hbar \qquad\quad n=n_x+n_y $$