Presentación Física Estadística 2023 - David Reguera.pdf
La física estadística té el seu origen en la necessitat d’explicar la termodinàmica (model macroscòpic) a partir de les lleis de la mecànica clàssica.
Degut a que estem fent l’estudi de sistemes que tenen de l’ordre de $10^{23}$ partícules, una descripció microscòpia exacta de tot el sistema és inviable, i no es pot calcular ni analíticament ni computacionalment.
Aquí és on entra l’estadística, si coneixem alguns detalls microscòpics del sistema (com ara el hamiltonià que regeix el comportament de les partícules) i fem alguna assumpció o hipòtesis (com ara que com més energia tingui una configuració arbitrària del sistema, menys probable serà), podrem calcular propietats macroscòpiques del sistema (com ara el valor esperat de l’energia).
Molt bé, aleshores la Física Estadística, també anomenada Mecànica Estadística, és un model teòric que aplica l’estadística a sistemes físics, més concretament a sistemes físics en equilibri termodinàmic.
L’objectiu inicial és poder establir una relació entre un sistema de $N$ partícules del qual coneixem el seu hamiltonià (ja sigui clàssic o quàntic), i les seves propietats macroscòpiques resultants.
Tota la física estadística es basa en un concepte fonamental, la idea de col·lectivitat.
Per a entendre’l anem a considerar un exemple ben senzill, imaginem que tirem dos daus i els sumem, i volem saber quina és la probabilitat d’obtenir cada valor possible.
Si no sabéssim res de física estadística segurament el que faríem seria sumar en quants casos es dona un valor i dividir aquells casos pels casos totals (per exemple el número $9$ el podem obtenir de $4$ maneres diferents, i tenim un total de $36$ casos doncs $P(9)=\frac{4}{36}$).
I és en aquesta línia que funciona la física estadística. A cada cas possible que podríem obtenir l’anomenem microestat. Aleshores cada microestat tindrà unes propietats macroscòpiques resultants (en aquest cas simplement en tenim una, el valor de la suma dels dos daus), i a cada instància de propietats macroscòpiques l’anomenarem macroestat.
La gràcia està en que diversos microestats donen lloc al mateix macroestat. Aleshores tindrem que alguns macroestats seran més probables que d’altres.
La col·lectivitat, és doncs el constructe abstracte de totes les possibles configuracions del sistema, és a dir al conjunt de microestats possibles totals (en l’exemple dels daus seria justament la taula amb els valors possibles).
Imaginem-nos ara un gas ideal com un sistema tancat, aïllat i en equilibri, el qual ocupa un cert volum $V$, té una energia $E$ fixada, i conté un cert nombre de partícules $N$. A nivell microscòpic, cada una d’aquestes partícules pot ocupar una posició $\vec{r}_i$ qualsevol dins el volum i tenir una velocitat $\vec{v}_i$ qualsevol.
Nota: donat un Hamiltonià clàssic, amb aquestes 6 variables per cada partícula (3 dimensions) en fem prou per trobar quina energia $\epsilon_i$ aporta cada una a l’energia total.
Aleshores, els microestats seran les possibles configuracions del sistema que puguem tenir, és a dir els valors concrets de les variables $(\vec{r}_1,\vec{v}_1,\vec{r}_2,\vec{v}_2,...,\vec{r}_N,\vec{v}_N)$.