Quan NO coneixem la FUNCIÓ ANALÍTICA, en coneixem un CONJUNT FINIT D'ABCISSES:
$$ \rightarrow \{x_1, f(x_1)\}, \{x_2, f(x_2)\}, \ldots, \{x_n, f(x_n)\} $$
Interpolació: obtenció de punts intermedis als coneguts per conèixer l'estructura de la funció.
En els punts intermedis tindrem una aproximació contínua i derivable de les dades conegudes.
$\forall k = 0, 1, 2, \ldots, n$ existeix un únic polinomi $e_k$ de grau $\leq n$ tal que:
$$ e_k(x_j) = \delta_{kj} $$
$$ e_k(z) = \frac{(z-x_0) \cdots (z-x_{k-1})(z-x_{k+1}) \cdots (z-x_n)}{(x_k-x_0) \cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \cdots (x_k-x_n)} = \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq k}}^n \frac{z-x_i}{x_k-x_i} $$
Polinomi interpolador de Lagrange:
$$ P_n(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x) + \ldots + y_n l_n(x) $$
Aquest polinomi és equivalent a la funció que busquem.
Ús de dos punts per obtenir-ne un de tercer intermig:
Donats $(x_a, y_a)$ i $(x_b, y_b)$, el punt intermig $(x, y)$ és:
$$ y = y_a + (x - x_a) \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a} $$
Similar a la lineal però amb 3 punts: $(x_0, y_0)$, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$
$$ y = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} $$