Requisit previ: Funció gamma i integrals Gaussianes
<aside> 🛠 Aquest apartat està en procés, la informació pot no ser correcta.
</aside>
Nota prèvia
La funció zeta de Riemann apareix en un piló de branques avançades de les matemàtiques.
Forma part d’un dels problemes del mileni (la hipòtesis de Riemann), té molt a veure amb els nombres primers, i quasi bé res relacionat amb ella és trivial.
En aquesta pàgina ens centrarem únicament en l’essencial necessari per tal de resoldre algunes integrals.
Definició
Definició en forma de sumatori:
$$ \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\zeta(s)=\sum_{k \geq 0} \frac{1}{k^s}\qquad\qquad s\in\mathbb{C},\Re(s)\gt1
$$
Definició en forma integral
$$ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} d x\qquad\quad s\gt 1,s\in\R $$
Podem comprovar a partir de la sèrie geomètrica que les dues definicions són equivalents
Relacions funcionals
Equació de reflexió
$$ \zeta(s)=2^s \pi^{s-1} \sin (\pi s / 2) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) $$
De manera equivalent
$$ \zeta(1-s)=2(2 \pi)^{-s} \cos \left(\frac{1}{2} s \pi\right) \Gamma(s) \zeta(s) $$