<aside> 🚧
Aquesta pàgina encara està a mig redactar.
</aside>
Hi ha operadors diferencials (laplace, hamilton… $L$ pel cas general) però també operadors integrals (transformades de fourier, de laplace… $G$ pel cas general).
A cada operador diferencial lineal $L$, li correspon una funció de green $G$.
Podem trobar un llistat de les funcions en funció dels operadors diferencials a la Wikipedia.
En quin sentit es corresponen
Un nombre positiu i un negatiu són ‘inversos’ en tan que retornen l’escalar identitat per la suma (el zero)
Un nombre real $k$ i un altre $\frac{1}{k}$ són ‘inversos’ en tan que retornen l’escalar identitat per la multiplicació (el $1$).
Una derivada $\frac{\partial}{\partial x}[f(x)]$ i una integral $\int [f(x)]dx$ són ‘inverses’ en tan que retornen la funció sobre la que actuen $f(x)$ sense modificar, és a dir l’operador ‘identitat’, que actuat sobre la funció no li fa res.
L’operador ‘identitat’ és la distribució delta de Dirac.
$$ \int_a^b f(x)\delta(x-s)=f(s) $$
Aleshores tenim que la funció de Green (operador integral lineal) i un operador diferencial lineal $L$ donen la delta de Dirac.
$$ LG(x,s)=\delta(x-s) $$
Així doncs
Aplicar un i després l’altre sobre la funció
$$ \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x) $$
És equivalent a fer-ho al revés
$$ L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x) $$