<aside> 🚧
Aquesta pàgina encara està a mig redactar
</aside>
$$ \textbf{Postulat 1}\\ \footnotesize\textit{L'estat d'un sistema físic es representa per un vector `ket'}\ket{\psi}\\[-0.2em]\textit{que viu en l'espai d'estats (o solucions), el qual és un espai de Hilbert.} $$
$$ \textbf{Vector} $$
Notació d’Einstein per vectors euclidians
$$ \vec{v}=\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}\leftrightarrow v^i $$
Notació de Dirac per vectors en un espai de Hilbert
$$ \text{Ket}\qquad \ket{v} $$
$$ \ket{\psi}=c_1\ket{\psi_1}+c_2\ket{\psi_2}+\cdots $$
$$ \ket{\psi}\in\mathcal{H} $$
$$ \ket{\psi}=\sum_ia_i\ket{E_i}\\ $$
$$ \ket{\psi}=\int\psi(x)\ket{x}dx $$
$$ \textbf{Covector} $$
Notació d’Einstein per covectors euclidians
$$ \\[1em] \vec{\omega}=\vec{v}^\dagger=\begin{pmatrix} \omega_1&\omega_2&\omega_3\end{pmatrix}\leftrightarrow \omega_i \\[0em]~ $$
Notació de Dirac per covectors en un espai de Hilbert dual
$$ \text{Bra}\qquad \bra{\omega} $$
$$ \bra{\phi}=c_1^\bra{\phi_1}+c_2^\bra{\phi_2}+\cdots $$
$$ \bra{\phi}\in\mathcal{H}^* $$
$$ \bra{\phi}=\sum_ib_i\bra{E_i} $$
$$ \bra{\phi}=\int\phi(x)\bra{x}dx $$
$$ \textbf{Producte escalar} $$
$$ \langle \phi,\psi\rangle \xrightarrow{~\text{notació Bra-Ket}~} \braket{\psi|\phi} $$
$$ \small\text{Tª de Riesz}:\normalsize\braket{\psi|\phi}\equiv\bra{\psi}\ket{\phi} $$
$$ \footnotesize\textit{Prod. Escalar: lineal en el 2n arugment i antilineal en el 1r}\normalsize\\ \braket{a\psi+b\varphi\mid c\phi+d\chi}=a^\bra{\psi}+b^\bra{\varphi}+c\ket{\phi}+d\ket{\chi} \\[0.5em] \footnotesize\textit{Prod. Escalar: simetria hermítica}\normalsize\\ \braket{\psi|\phi}=\braket{\phi|\psi}^* $$
$$ \braket{\psi|\phi}=\sum_ia_i^b_i \qquad \braket{\psi|\phi}=\int\psi^(x)\phi(x) dx $$
$$ \textbf{Base d'autoestats} $$
$$ \ket{\psi}=\sum_ia_i\ket{E_i} \\\footnotesize\textit{si la base és ortonormal}\\ \normalsize a_i=\braket{E_i|\psi} $$
$$ \textbf{Base dual} $$
$$ \bra{\phi}=\sum_ib_i\bra{E_i} \\\footnotesize\textit{si la base és ortonormal}\\ \normalsize b_i=\braket{\phi|E_i} $$
$$ \textbf{Postulat 4 (Regla de Born)} $$
$$ \begin{aligned} \ket{\psi}=\sum_ic_i\ket{E_i} \longrightarrow P(E=E_i)=|c_i|^2 \\[1.4em] \ket{\psi}=\int\psi(x)\ket{x}dx \longrightarrow p(x)=|\psi(x)|^2 \end{aligned} $$
$$ \textbf{Operadors i observables} $$
$$ \footnotesize\textit{Notacions equivalents}\normalsize \\ \hat{O}\ket{\psi}=\ket{\hat{O}\psi} \quad \braket{\psi|\hat{O}|\phi}=\braket{\psi|\hat{O}\phi} $$
$$ \footnotesize\textit{Propietats operador dagger (hermític adjunt)} \normalsize\\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger=\hat{A} \qquad (\hat{A}+\hat{B})^\dagger=\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger \qquad (\hat{A}\hat{B})^\dagger=\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger \\ c^\dagger=c^* \textit{\small per } c\in\mathbb{C} \qquad \ket{\psi}^\dagger=\bra{\psi} \qquad \bra{\psi}^\dagger=\ket{\psi} $$
$$ \footnotesize\textbf{Operador hermític}\\ \footnotesize\textit{Definició} \normalsize\\ \hat{O}=\hat{O}^\dagger \\[0.5em] \footnotesize\textit{Teorema espectral} \normalsize\\ \footnotesize\text{Hermític}\Rightarrow \text{Diagonalitzable, VAPS reals i VEPS ortogonals} \\\hat{A}=\hat{A}^\dagger\Rightarrow \hat{A}\ket{a_i}=\lambda_i\ket{a_i}|\lambda_i\in\R \text{ i } \ket{A_i}\ket{A_j}=\delta_{ij} \\[0.5em] \footnotesize\textit{Propietats} \normalsize\\ \braket{\psi|\hat{O}\phi}=\braket{\hat{O}\psi|\phi} $$
$$ \footnotesize\textbf{Operador unitari}\\ \footnotesize\textit{Definició} \normalsize\\ \hat{O}\hat{O}^\dagger=\hat{O}^\dagger\hat{O}=\hat{I} \\[0.5em] \footnotesize\textit{Nota: un operador unitari i un hermític són coses ben diferents} $$