Recursos externs

Definició

<aside> 📌 Un espai de Hilbert $\mathcal{H}$ és un espai vectorial que té definit un producte intern i és complet. Diem que és complet en el sentit que una suma infinita de vectors dona lloc a un vector que també pertany a l’espai vectorial.

</aside>

<aside> <img src="/icons/info-alternate_blue.svg" alt="/icons/info-alternate_blue.svg" width="40px" /> Un espai de Hilbert pot tenir dimensió finita o infinita, i pot ser un espai vectorial definit sobre els reals o sobre els complexos.

</aside>

Els 4 exemples més importants

• $\R^n$
• $\mathbb{C}^n$
• $L^2$, $f\in\R$
• $L^2$, $f\in\mathbb{C}$

Coordinate vectors ($\R^n$, $\mathbb{C}^n$)

Anomenem “coordinate vectors” als vectors que es poden escriure com a tuples (finites) d’escalars. Recordem que un escalar pot ser tant un nombre real com un nombre complex.

Exemples

$$ \vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3.1\\ -0.8 \end{pmatrix} \quad \vec{v}\in\R^3 \qquad\quad \vec{w}=\begin{pmatrix} 2-3i\\ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \end{pmatrix} \quad \vec{w}\in\mathbb{C}^2 $$

Notació

Nota: quan tenim coordinate vectors, l’espai de Hilbert sempre és de dimensió finita (ja sigui $\R^n$ o $\mathbb{C}^n$ la dimensió és $n$).

La notació pel cas dels coordinate vectors passa a ser la que ja coneixem.

• Vectors $v\to\vec{v}$
• Producte intern $\langle u,v\rangle\to\vec{u}\cdot\vec{v}$
• Covectors es poden escriure com a vectors $(\omega: V\mapsto\mathbb{C})\to\vec{\omega}$

Producte intern