Taules

Taules Clebsch-Gordan.pdf

De què serveixen?

Ens permeten canviar de la base acoblada a la base producte (també anomenada base desacoblada, o base independent), i també fer el canvi invers.

• Notació prèvia

$$ \overset{\vphantom{\displaystyle\frac{a}{b}} \text{base acoblada}}{\ket{j_1j_2 m_1m_2}} ~~ \xrightarrow[\text{coef. Clebsch-Gordan}]{\qquad \text{canvi de base}\qquad} ~~ \overset{\vphantom{\displaystyle\frac{a}{b}} \text{base producte}}{\ket{J,M}} $$

Què és cada element de les taules?

• A dalt a l’esquerra hi ha les $j_1$ i $j_2$ que defineixen la taula.
• Les caselles en gris es corresponen als coeficients de Clebsch-Gordan.
• A les files blanques tenim $m_1$ i $m_2$.
• A les columnes blanques tenim $J$ i $M$.

Exemple per dos electrons $(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2})$

El canvi de base explícit

• Notació amb fletxes (més entenedora)

$$

\begin{aligned} &\ket{1~1}=\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}} \\[1em] &\ket{1~0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big( \ket{\textstyle \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}} +\textstyle\ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{1}{2} } \Big) \\[1.5em] &\ket{1~-1}=\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{-1}{2}}

\\[1em] &\ket{0~0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}-\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}\Big) \end{aligned} $$

• Canvi de base invers

La taula de Clebsch-Gordan

Busquem a les taules la que posa $1/2\times1/2$ (ja que tenim dos electrons, i cada un té spin 1/2).