Sempre

$$ \varepsilon_F=\varepsilon(k_F) \qquad\quad N_e=N(k_F) $$

$$ N=g_{\mathrm{s}} \cdot \frac{L^2}{4 \pi^2}\pi k^2 \quad\text{(? no ho sé)} $$

$$ D(k)=\frac{dN}{dk} \qquad\quad D(\varepsilon)=\frac{dN}{dk}\left|\frac{dk}{d\varepsilon}\right| $$

$$ N=\int_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2}D(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon \qquad\qquad n=\frac{N}{V} $$

$$ f(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp ((\varepsilon-\mu) / k_{B} T)} $$

Gas d’electrons lliures (model de xarxa buida)

$$ \varepsilon^{(0)}(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m_e} $$

1D

$$ k_F=\frac{\pi n}{2} $$

2D

$$ k_F=\sqrt{2\pi n} $$

3D

$$ k_F=\sqrt[3]{3\pi^2n}\qquad\qquad $$

Electrons feblement lligats

Equació central i taula de diferències

$$ \left(\varepsilon^{(0)}-\varepsilon^{(1)}\right) C_{\vec{k}-\vec{G}}+\sum_{\vec{G}^{\prime \prime}} U_{\vec{G}^{\prime \prime}-\vec{G}} C_{\vec{k}-\vec{G}^{\prime \prime}}=0 $$

Electrons fortament lligats (solapament amb primers veïns | CLOA | LCAO)

$$ \varepsilon(\vec{k})=\mathcal{E}_0-\alpha-\sum_n \gamma_n \exp \left(-i \vec{k} \cdot \vec{\rho}_n\right) $$

Si els primers veïns estan tots a la mateixa distància tenim $\gamma_n=\gamma$.

Aproximació de Taylor a segon ordre (es pot combinar amb LCAO)

$$ \small \varepsilon\left(k_x, k_y, k_z\right)=\varepsilon(\vec{k}0)+\left.\sum_i \frac{\partial \varepsilon}{\partial k_i}\right|{\vec{k}=\vec{k}0}~~ \mathclap{ \left(k_i-k{0 i}\right)}~~~~~~~~ +\left.\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial k_i \partial k_j}\right|_{\vec{k}=\vec{k}0} ~~ \mathclap{ \left(k_i-k{0 i}\right)}

\\left(k_i-k_{0 j}\\right)

$$

Es defineix $\\small\\tilde{\\mathcal{E}}_0
\\equiv
\\varepsilon(\\vec{k}_0)$. I tenim que el segon terme es relaciona amb el tensor de massa efectiva inversa.

$$
\\left(\\frac{1}{m^*}\\right)_{i j}=\\alpha_{i j}=\\frac{1}{\\hbar^2} \\frac{\\partial^2 \\varepsilon}{\\partial k_i \\partial k_j}
$$

I aquí utilitzem la força i l’acceleració