Sempre podem intercanviar dos sumatoris, siguin finits o infinits
$$ \sum_i\sum_j=\sum_j\sum_i $$
La pregunta que ens fem és quan podem i quan no podem aplicar la següent igualtat
$$ \int\lim_{n\to\infty} f_n=\lim_{n\to\infty}\int f_n $$
Condicions suficients per poder aplicar-la:
Podem intercanviar sumatoris i integrals sempre que el sumatori sigui finit
$$ \sum_{i=0}^{n}\int=\int\sum_{i=0}^n $$
Nota: Això inclou integrals impròpies $\int_{-\infty}^\infty$, l’únic problema està en el sumatori.
Ara bé si el sumatori és infinit… ja que
$$ \sum_{n=0}^\infty=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n $$
Podrem intercanviar-los en els mateixos casos en què puguem intercanviar un límit i una integral. Això al final pel sumatori es tradueix a que podem intercanviar-los quan la suma infinita sigui absolutament convergent.
$$ \text{si }\sum_{i=0}^\infty |f_i(x)|\le L\quad\forall x\implies \sum_{i=0}^\infty\int=\int\sum_{i=0}^\infty $$
$$ \text{si no...}\implies\sum_{i=0}^\infty\int\neq\int\sum_{i=0}^\infty $$