Binomi de Newton

$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^k $$

Coeficient Binomial

$$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Propietat útil

$$ \sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}a^k=(a+1)^n $$

També es compleix per $k$ anant fins a infinit (Sèrie binomial)

$$ \sum_{k=0}^\infty\frac{n!}{k!(n-k)!}a^k=(a+1)^n $$

Propietats principals del coefficient binomial

$$ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \qquad\quad \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} $$

$$ \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots\binom{n}{n}=2^n \qquad\quad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 $$

• Altres propietats

Relacionat

• Distribució Binomial

  $$ P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} $$

• Combinatòria

  Combinacions amb o sense repetició

  $$ \binom{n}{k}=C^n_k\qquad\qquad \binom{n+k-1}{k}=\bar{C}^n_k $$

• Triangle de Pascal

  Cada element del triangle de pascal és un coefficient binomial (fila $n$ i posició $k$).

  

• Números de Catalan

  Es defineixen justament a partir del coeficient binomial

  $$ C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}= \frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!} $$