Funció de partició macrocanònica
$$ \ln Q=\frac{1}{a}\sum_{j=1}^\Omega\ln\Big(1+ae^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}\Big) $$
En què $a=1$ eren fermions, $a=-1$ era per bosons i $a=0$ equivalia a Maxwell-Boltzmann.
Potencial macrocanònic
$$ \Xi=-k_BT\ln Q=-pV $$
Valor mitjà del número d’ocupació
$$ \langle n_j \rangle=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+a} $$
Número de partícules
$$ \langle N\rangle =\sum_{j=1}^\Omega\langle n_j \rangle=\sum_{j=1}^\Omega \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+a} $$
Valor mitjà de l’energia
$$ \langle E \rangle = \sum_{j=1}^\Omega\epsilon_j\langle n_j\rangle \sum_{j=1}^\Omega \frac{\epsilon_j}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+a} $$
“Passem la suma discreta a una integral (tenim moltíssims estats així que és una molt bona aproximació)”.
En el continu
Primer recordem el paràmetre fugacitat
$$ z\equiv e^\beta\mu $$
I ara ho passem al continu
$$ \ln Q=\frac{1}{a} \int_0^\infty \ln\Big(1+aze^{-\beta\epsilon}\Big)g(\epsilon)d\epsilon $$
$$ \langle N\rangle=tal $$
$$ \langle E\rangle =tal $$