“Gas ideal de bosons però que al poder estar al mateix número d’ocupació, i ha una temperatura crítica per la qual es produeix el que s’anomena condensació de Bose-Einstein.”
Recordem versió generalitzada estadístiques en la col·lectivitat gran canònica (en funció de $a$).
$$ \ln Q=\frac{1}{a}\sum_{j=1}^\Omega\ln\Big(1+ae^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}\Big)=\sum_{j=1}^\Omega\ln\Big(1-ze^{-\beta\epsilon}\Big)=\frac{PV}{k_BT} $$
$$ \langle n_j\rangle=\frac{1}{e^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}+a} \qquad \quad\text{no ens fan falta per bosons} $$
$$ N=\langle N\rangle =\sum_{j=1}^\Omega\langle n_j \rangle=\sum_{j=1}^\Omega \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+a} $$
$$ E=\langle E \rangle = \sum_{j=1}^\Omega\epsilon_j\langle n_j\rangle =\sum_{j=1}^\Omega \frac{\epsilon_j}{e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}+a} $$
$$ z\equiv e^\beta\mu $$
$$ \begin{aligned} a=1&\quad\text{fermions}\\ a=-1&\quad\text{bosons}\\ a=0&\quad\text{Maxwell-Boltzmann}\\ \end{aligned} $$
Recordem que ho passàvem al continu
$$ \sum_{j=1}^\Omega\longrightarrow\int_0^\infty d\epsilon g(\epsilon) $$
Que per bosons (a=-1) queda
$$ \ln Q =-\int_{0^+}^\infty g(\epsilon)d\epsilon\ln(1-ze^{-\beta\epsilon})-\underbrace{\ln(1-z)}_{\text{contribució nivell fonamental }\epsilon=0} $$
Per un gas de bosons en 3D
$$ g(\epsilon)=C\epsilon^{1/2}\qquad C=g_s\frac{2\pi V}{h^2}(2m)^{3/2} $$
Integrant per parts nsq arribes a
$$ g(\epsilon)=C\epsilon^{1/2}=\frac{g_sV}{\lambda^3}g_{5/2}(z)-\ln(1-z) $$
que et donen les FUNCIONS DE BOSE-EINSTEIN —> $g_\nu$ són les funcions.
$$ \boxed{g_\nu(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_0^\infty\frac{x^{\nu-1}}{z^{-1}e^x-1}dx} $$
Aquí l’únic important és la $z$, que en aquest cas es troba entre 0 i 1 i recordar que el potencial químic en aquest cas és negatiu