Aproximació quàrtica entre 5 punts consecutius.
A partir del polinomi interpolador calculem la integral:
$$ \int_{x_0}^{x_4} f(x) dx \simeq \frac{2h}{45}(7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4) $$
Error: L'error comès creix com $h^7$:
$$ E_r \simeq -\frac{8h^7}{945} f^{(6)}(\xi) \quad \text{amb } \xi \in [x_0, x_4] $$
Els mètodes d'integració esmentats anteriorment es poden encadenar per tal d'estendre el càlcul a intervals complets $[a, b]$.
Tenim $f(x)$ definida en un conjunt de $N+1$ punts equiespaiats $h$ en $[a, b]$:
$$ x_k = x_0 + kh \quad \text{amb} \quad \begin{cases} x_0 \equiv a \\ k \in \mathbb{N} \cup \{0\} \\ x_N \equiv b \end{cases} \quad \text{i} \quad h = \frac{b-a}{N} $$
Integral:
$$ \int_a^b f(x) dx = \sum_{k=0}^{N-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) dx = h \sum_{k=0}^{N-1} \frac{f_k + f_{k+1}}{2} $$
Fórmula composta:
$$ \int_a^b f(x) dx = h\left[\frac{f_0}{2} + f_1 + f_2 + \ldots + f_{N-1} + \frac{f_N}{2}\right] $$